Trigonometrik denklemler soru

SORU 1:

√3sinx+cosx=0

denkleminin çözüm kümesi nedir ?

ÇÖZÜM 1:

ifadeyi cosx'e bölelim

(√3sinx)/(cosx)+1=0

√3tanx=-1

tanx=-1/√3

x=5pi/6+kpi

Ç.K={x|x=5pi/6+kp,k∈Z}

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SORU 2:

x∈[0,120] olmak üzere,

1+tan4x=0 

olduğuna göre tan4x in alabileceği değerler toplamı nedir ?


ÇÖZÜM 2:

tan4x=-1 

tan4x=135 ise k∈Z

4x=135+k.180

k=0 ise x=33,75
k=1 ise x=78,75
k=2 ise x=123,75
...

x∈[0,120] olmak üzere,

4x'in değerleri toplamı 135+315=450 bulunur.

----------------------------------------------------------------------------------

SORU 3:

2sinx.cosx=cos35 denkleminin [0,90] aralığındaki köklerinden herhangi biri nedir ?

ÇÖZÜM 3:

2sinxcosx=cos35 

sin2x=sin55

2x=55+360k ya da 2x=125+360k

x=55/2+180k ya da x=125+180k

x=27,5+180k ya da x=62,5+180k

k=0 için z=27,5 ya da x=62,5 olur.

----------------------------------------------------------------------------------

SORU 4:

sin²x-6sinx+9=0 denkleminin [pi/2,3pi/2] aralığında kaç kökü vardır ?

ÇÖZÜM 4:

sin²x-6sinx+9=(sinx-3)²=0

sinx-3=0

sinx=3 olduğundan denklemin kökü yoktur.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SORU 5:

2cos8x+4cos4x-3=0 denkleminin [0,2pi] aralığındaki en küçük kökü nedir ?

ÇÖZÜM 5:

2cos8x+4cos4x+3=0

=>2(2cos²4x-1)+4cos4x+3=0

=>4cos²4x-2+4cosx+3=0

=>4cos²4x+4cos4x+1=0 (cos4x=t)

4t²+4t+1=0

t=-1/2

cos4x=-1/2

cos4x=cos(2pi/3)

4x=2π/3+2kπ veya 4x=-2π/3+2kpi

x=π/6+kπ/2 veya x=-π/6+kπ/2

x=π/6+kπ/2

k=0 için x₁=π/6

k=1 için x₂=2π/3

*x=-pi/6+kπ/2

k=0 için x₃=-π/6=11π/6

k=1 için x₄=2π/6 olduğundan;

[0,2pi] aralığındaki en küçük pozitif kökü π/6 bulunur.