İkinci Dereceden Denklemler

A.    TANIM

a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax2 + bx + c = 0

biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.

B.  İKİNCİ DERECE DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU

1.   Çarpanlara Ayırma Yöntemi

ax2 + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0 biçiminde yazılabiliyorsa

f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;

Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.

2.  Diskiriminant (D) Yöntemi

ax2 + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve

D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi

 

ax2 + bx + c = 0

denkleminde, D = b2 – 4ac olsun.

a)   D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır.

b)   D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur.

c)   D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır.

Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir.

Ü ax2 + bx + c = 0

denkleminin kökleri simetrik ise,

1)   b = 0 ve a ¹ 0 dır.

2)   Simetrik kökleri gerçel ise, b = 0, a ¹ 0 ve a . c £ 0 dır.

C.  İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI  ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,

D.   KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem; (x – x1) (x – x2) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse, x2– (x1 + x2)x + x1x2  = 0 olur.

Ü ax2 + bx + c = 0 ... (1) denkleminin kökleri x1  ve x2 olsun. Kökleri mx1 + n ve

mx2 + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerineyazılarak bulunur.

Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2  + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,

Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise, ax2 + bx + c = dx2 + ex + f

(a – d)x2  + (b – e)x + c – f = 0 dır.

Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.

ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER

A.   TANIM

a ¹ 0 olmak üzere, ax3  + bx2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

B.   ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

a ¹ 0 ve ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun. Buna göre,

C.  KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI Kökleri x1, x2 ve x3olan üçüncü derece denklem (x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 dır.

Bu denklem düzenlenirse,

x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3  + x2x3)x – x1x2x3 =  0

olur.

Ü ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2, x3 olsun.

1)   Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,

x1 + x3  = 2x2 dir.

2)  Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,

3)  Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa, x1 = x2 = x3 tür.

n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere, anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 = 0denkleminin;

Kökleri toplamı : 

Kökleri çarpımı :