Mantık-2

1. "ve" Bağlacı

p ve q önermeleri arasında "ve" bağlacı kullanılarak "p ve q" bileşik önermesini elde etme işlemine "ve" işlemi denir. "p Λ q" ile gösterilir.

p Λ q önermesi p ve önermelerinin her ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlış olan bir bileşik önermedir. Bu önermeye p ve q önermelerinin kesişimi denir.

p  q  p Λ q

1  1    1

1  0    0

0  1    0

0  0    0

p ve q önermelerinin doğruluğu yukarıdaki doğruluk çizelgesinde görüldüğü gibi bileşenlerin doğruluk değerleri olan 1 ve 0'ın aritmetik çarpımıdır.( "Λ" ve bağlacının değeri p ve q' nun çarpımıdır)

Özellikler

1.∀ a önermesi için a Λ a ≡ a dır.
2.∀ a,b önermesi için a Λ b ≡ b Λ a
3.∀ a,b,c önermesi için a Λ (b Λ c) ≡ (a Λ b) Λ c

Matematikteki “Λ” bağlacı ile konuşma dilindeki “ve” bağlacı farklı anlamlar taşıyabilir.


2. “veya bağlacı” (Mantıksal Toplama)

p ve q önermeleri arasına “veya” bağlacı kullanılarak “p veya q” önermesini elde etme işlemine denir. “ V “ bağlacı ile gösterilir. p V qönermesinde toplama işlemi geçerlidir.

p  q  p V q

1  1    1

1  0    1

0  1    1

0  0    0

Özellikleri
Her a,b,c önermesi için
1.a V a ≡ a
2.a V b ≡ b V a
3.(a V b) V c ≡ a V (b V c)


3. İse ( Şart Gerektirme) Bağlacı 

p ve q önermelerinden “ p ise q” bileşik önermesini p ve q önermelerinden “p ise q” bileşik önermesini elde etme işlemine şart (ise) işlemi denir ve ( p ⇒ q) şeklinde gösterilir.
p ⇒ q önermesinde p doğru q yanlış iken p ⇒ q yanlış diğer durumlarda doğrdur.

p  q  p ⇒ q

1  1    1

1  0    0

0  1    1

0  0    1

En önemli özelliği her a ve b önermesi için;
a ⇒ b ≡ a' V b dir.

Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi, Karşıtı Tersi

q ⇒ p koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karşıtı denir.
p′ ⇒ q′ koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin tersi denir.
q′ ⇒ p′ koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karşıt tersi denir.




4. Ancak ve Ancak bağlacı ve Özellikleri (⇔)

A ve b herhangi iki önerme olmak üzere (a ⇒ b)Λ(b⇒a) önermesine koşullu ya da iki yönlü önerme denir. 
a ⇔ b bileşik önermesinde a ile b aynı doğruluk değerlerine sahipseler. a⇔b önermesi doğru değer durumlarda yanlıştır.

p  q  p ⇔ q

1  1    1

1  0    0

0  1    0

0  0    1

Önermeler Cebrinin Özellikleri

1. a Λ (b V c) ≡ (a Λ b) V (a Λ c) “Λ’ nin “V” üzerine soldan dağılma özelliği”
2. a V (b Λ c) ≡ (a V b) Λ (a V c) “V” nin “Λ” üzerine soldan dağılma özelliği”
3. t Λ a ≡ a Λ t ≡ a
4. ç Λ a ≡ a Λ ç ≡ ç
5. ç V a ≡ a V ç ≡ a
6. (a')' ≡ a
7. (t)' ≡ ç, (ç)' ≡ t
8. ( a Λ b)' ≡ a' V b', (a V b)' ≡ a' Λ b' ( DE MORGAN)
9. a ⇒ b ≡ a' V b


Uyuşma (Totoloji) Ve Çelişme

Değişkenleri yerine yazılacak her bir önerme için doğru olan önerme ifadelerine totoloji yanlış olan önerme ifadelerine ise çelişme adı verilir.